108信息與數學學院

　　2024年全國碩士研究生統一入學考試

　　數學分析 科目考試大綱

　　一、考查目標

　　要求考生掌握數學分析課程的基本概念、基本定理和基本方法，能夠運用數學分析的理論分析、解決相關問題。

　　二、考試形式和試卷結構

　　1、試卷滿分及考試時間

　　本試卷滿分150分，考試時間為180分鐘。

　　2、答題方式

　　答題方式為閉卷、筆試

　　3、試卷題型結構

　　全卷一般由十個大題組成，具體分布為

　　計算題：5～6小題，每題10分，約50～60分

　　分析論述題（包括證明、討論、綜合計算）：5～6大題，每題15～20分，約75～100分

　　三、考查范圍

　　本課程考核內容包括實數理論和連續函數、一元微積分學、級數、多元微積分學等等。

　　第一章 實數集與函數

　　1．了解鄰域，上確界、下確界的概念和確界原理。

　　2．掌握函數復合、基本初等函數、初等函數及常用特性。（單調性、周期性、奇偶性、有界性等）

　　3．掌握基本初等不等式及應用。

　　第二章 數列極限

　　1．熟練掌握數列極限的ε-N定義。

　　2．掌握收斂數列的常用性質。

　　3．熟練掌握數列收斂的判別條件（單調有界原理、迫斂性定理、Cauchy準則、壓縮映射原理、Stolz變換等）。

　　4．能夠熟練求解各類數列的極限。

　　第三章 函數極限

　　1．深刻領會函數極限的“ε-δ”定義及其它變式。

　　2．熟練掌握函數極限存在的條件及判別。（歸結原則，柯西準則，左、右極限、單調有界等）。

　　3．熟練應用兩個重要極限求解較復雜的函數極限。

　　4．理解無窮小量、無窮大量的概念；會應用等價無窮小求極限；熟悉等價無窮小、同階無窮小、高階無窮小及其性質。

　　第四章 函數連續性

　　1．掌握函數在某點及在區間上連續的幾種等價定義，尤其是ε-δ定義。

　　2．熟悉函數間斷點及類型。

　　3．熟練掌握閉區間上連續函數的三大性質及其應用。

　　4．熟練掌握區間上一致連續函數的定義、判斷和應用。

　　5．知道初等函數的連續性。

　　第五章 導數和微分

　　1．掌握導數的定義、幾何意義，領悟其思想內涵；熟悉單邊導數概念及應用。

　　2．掌握求導四則運算法則、熟記基本初等函數的導數。

　　3．熟練掌握復合函數求導的鏈式法則。

　　4．掌握參量函數、隱函數的求導法、對數求導法。

　　5．熟練掌握乘積函數求導的Leibniz公式。

　　6．掌握微分的概念，領悟其思想內涵；并會用微分進行近似計算。

　　7．熟練掌握復合函數微分及一階微分形式不變性。

　　8．理解連續、可導、可微之間的關系。

　　9．熟練掌握高階導數的各種求解方法。

　　第六章 微分中值定理及其應用

　　1．熟練掌握微分中值定理及其應用，會證明中值點x的存在性問題。

　　2．熟練運用洛必達法則求極限。

　　3．熟練掌握單調區間、極值、最值的求法。

　　4．熟練掌握Taylor公式思想、方法及應用。

　　5．掌握曲線的凹凸性及拐點的求法，并掌握凸函數及性質。

　　6．熟練應用函數單調性、凹凸性等等工具證明函數不等式。

　　第七章 實數完備性

　　1．了解區間套、覆蓋、有限覆蓋、聚點等等的含義。

　　2．掌握實數完備性各定理的具體內容，領悟其證明的思想內涵。

　　3．掌握閉區間上連續函數有界性、最值性、介值性、一致連續性定理的證明。

　　4．理解上極限、下極限的概念和等價敘述。

　　第八章 不定積分

　　1．知道原函數與不定積分的概念。

　　2．熟練掌握換元法、分部積分法。

　　3．會計算有理函數的積分。

　　4．會計算三角函數有理式、某些簡單無理式的積分。

　　第九章 定積分

　　1．深刻領會定積分的定義和性質。

　　2．深刻理解微積分基本定理，并會熟練應用。

　　3．熟練掌握換元法、分部積分法計算定積分。

　　4．知道可積條件和可積類。

　　第十章 定積分的應用

　　1．熟練掌握平面圖形面積的計算。

　　2．熟練掌握旋轉體或已知截面面積的體積。

　　3．會利用定積分求孤長、旋轉體的側面積。

　　第十一章 反常積分

　　1．了解反常積分收斂性定義。

　　2．熟練掌握反常積分斂散性判別法（Cauchy、Abel、Dirichlet三大判別法）， 重點在無窮積分。

　　第十二章 數項級數

　　1．知道級數收斂和發散的定義、性質。

　　2．熟練掌握正項級數收斂的各種判別法。（比較判別法、比式判別法、根式判別法、拉貝判別法、積分判別法等）。

　　3．熟練掌握條件收斂、絕對收斂及Leibniz、Abel、Dirichlet三大判別法。

　　4．理解條件收斂、絕對收斂級數的特殊性質。

　　第十三章 函數列與函數項級數

　　1．深刻理解函數列、函數項級數一致收斂的ε-N定義。

　　2．熟練掌握函數列、函數項級數一致收斂的判別法。

　　3．熟練掌握一致收斂函數列和一致收斂函數項級數的性質。

　　第十四章 冪級數

　　1．掌握冪級數收斂域、收斂半徑以及和函數的求法，知道冪級數的若干性質。

　　2．熟練掌握函數的冪級數展開的方法。

　　3．會求冪級數的和函數及某些數項級數的和。

　　第十五章 傅里葉級數

　　1．熟記以2p周期的付里葉系數公式，會求函數的傅里葉展式。

　　2．掌握余弦級數，正弦級數的求法。

　　3．理解收斂性定理，掌握Bessel不等式、Lebesgue引理等幾個重要定理。

　　4．知道Parseval等式并運用其求某些數項級數的和。

　　第十六章 多元函數的極限與連續

　　1．了解平面點集的若干概念、平面點集的完備性定理。

　　2．掌握二元函數之二重極限、二次極限的定義和計算。

　　3．掌握二元函數連續性及其性質。

　　第十七章 多元函數微分學

　　1．掌握全微分和偏導數的概念、了解其幾何性質。

　　2．會計算偏導數和全微分，會計算高階偏導數（尤其是二階偏導數）。

　　3．熟練掌握多元復合函數求導的鏈式法則、理解一階全微分形式不變性。

　　4．掌握二元函數連續、偏導數連續、可微、可偏導之間的多角關系。

　　5．知道二元函數中值定理與Taylor公式。

　　6．熟練掌握多元函數極值、最值的求解方法，并會運用于解決實際問題。

　　7．了解方向導數與梯度及其幾何、物理意義。

　　第十八章 隱函數定理及其應用

　　1．理解隱函數（組）定理。

　　2．會求隱函數（組）的微分。

　　3．會求空間曲線的切線與法平面，會求空間曲面的切平面與法線。

　　4．熟練掌握條件極值的Lagrange乘數法。

　　第十九章 含參量積分

　　1．掌握含參量正常積分的定義及性質。

　　2．熟練掌握含參量反常積分一致收斂定義、判別法。

　　3．熟練掌握一致收斂含參量反常積分的性質（連續性、可導性、可積性）。

　　4．掌握Euler積分并用于計算某些反常積分；掌握用積分號下求導數等方法計算某些積分和反常積分。

　　第二十章 曲線積分

　　1．理解第一、二型曲線積分的概念及物理意義。

　　2．熟練掌握兩型曲線積分的基本參數計算公式。

　　3．熟練掌握格林公式。

　　4．掌握第二型曲線積分與路徑無關的條件，會求全微分式的原函數。

　　第二十一章 重積分

　　1．知道二重積分、三重積分定義與性質，理解分割、求和、取極限三部曲內涵。

　　2．熟練掌握二重積分、三重積分的直角坐標計算---化為累次積分。

　　3．熟練掌握二重積分、三重積分的變量替換。重點是極坐標變換、柱坐標變換 球坐標變換及廣義球坐標變換。

　　4．知道重積分幾何應用，會求曲面面積、重心坐標等。

　　第二十二章 曲面積分

　　1．理解第一、二型曲面積分的概念及物理意義；了解兩種曲面積分的轉換關系。

　　2．掌握兩型曲面積分的直角坐標計算公式。

　　3．熟練掌握Gauss公式和Stokes公式。

　　2024年全國碩士研究生統一入學考試

　　高等代數 科目考試大綱

　　一、考查目標

　　高等代數是大學數學系本科學生的最基本課程之一，也是大多數理工科專業學生的必修基礎課。

　　它的主要內容包括多項式理論、行列式、線性方程組、矩陣理論、二次型理論、線性空間、線性變換、λ-矩陣、歐氏空間。要求考生熟悉基本概念、掌握基本定理、有較強的運算能力和綜合分析解決問題能力。

　　二、考試形式和試卷結構

　　1、試卷滿分及考試時間

　　本試卷滿分150分，考試時間為180分鐘。

　　2、答題方式

　　答題方式為閉卷、筆試

　　3、試卷題型結構

　　全卷一般由十個大題組成，具體分布為

　　計算題：5～6小題，每題10分，約50～60分

　　分析論述題（包括證明、討論、綜合計算）：5～6大題，每題15～20分，約75～100分。

　　三、考查范圍

　?。ㄒ唬┒囗検?/p>

　　1．一元多項式的整除、最大公因式、帶余除法公式、互素、不可約、因式分解、重因式、根及重根、多項式函數的概念及判別；

　　2．復根存在定理（代數基本定理）；

　　3．根與系數關系；

　　4．一些重要定理的證明，如多項式的整除性質，Eisenstein判別法，不可約多項式的性質，整系數多項式的因式分解定理等；

　　5．運用多項式理論證明有關命題，如與多項式的互素和不可約多項式的性質有關的問題的證明與應用；

　　6．用多項式函數方法證明有關結論。

　?。ǘ┬辛惺?/p>

　　1．n-級排列、對換、n-級排列的逆序及逆序數和奇偶性；

　　2．n-階行列式的定義，基本性質及常用計算方法（如三角形法、加邊法、降階法、遞推法、按一行或一列展開法、Laplace展開法、Vandermonde行列式法）；

　　3．Vandermonde行列式；

　　4．行列式的代數余子式。

　?。ㄈ┚€性方程組

　　1．向量組線性相（無）關的判別及相應齊次線性方程組有（無）非零解的相關向量判別法、行列式判別法；

　　2．向量組的極大線性無關組的性質，向量組之間秩的大小關系定理及其三個推論，向量組的秩的概念及計算，矩陣的行秩、列秩、秩概念及其行列式判別法和計算；

　　3．Cramer法則，線性方程組有（無）解的判別定理，齊次線性方程組有（無）非零解的矩陣秩判別法、基礎解系的計算和性質、通解的求法；

　　4．非齊次線性方程組的解法和解的結構定理；

　?。ㄋ模┚仃嚴碚?/p>

　　1．矩陣基本運算、分塊矩陣運算及常用分塊方法并用于證明與矩陣相關的結論，如有關矩陣秩的不等式；

　　2． 初等矩陣、初等變換及其與初等矩陣的關系和應用；

　　3． 矩陣的逆和矩陣的等價標準形的概念及計算，矩陣可逆的條件及其與矩陣的秩和初等矩陣的關系，伴隨矩陣概念及性質；

　　4． 行列式乘積定理；

　　5．矩陣的轉置及相關性質；

　　6．一些特殊矩陣的常用性質，如，對角陣、三角陣、上對角陣、對稱矩陣、反對稱矩陣、冪等矩陣、冪零矩陣、正交矩陣等；

　　7． 矩陣的跡、方陣的多項式；

　　8． 矩陣的常用分解，如等價分解、滿秩分解、實可逆矩陣的正交三角分解、約當分解；

　　9．應用矩陣理論解決一些問題。

　?。ㄎ澹┒涡屠碚?/p>

　　1． 二次型及其標準形、規范形的概念和計算，慣性定理及其應用；

　　2．實二次型或實對稱矩陣正定、半正定、負定、半負定的概念及判定條件和應用；

　　3．實二次型在合同變換下的規范形以及在正交變換下的特征值標準型的求法。

　?。┚€性空間；

　　1．線性空間、子空間的定義及性質；

　　2．線性空間中一個向量組的秩及計算方法；

　　3．線性（子）空間的基和維數與向量關于基的坐標，子空間的基擴充定理，基變換與坐標變換，生成子空間，子空間的直和，一些常見的子空間，如線性方程組的解空間，矩陣空間，多項式空間，函數空間；

　　4．子空間的直和、維數公式；

　　5．線性空間的同構；

　　6．向量組線性相關或無關及子空間直和等相關結論的綜合證明；

　?。ㄆ撸┚€性變換

　　1．線性變換定義與運算及其矩陣表示；

　　2．矩陣的特征多項式和最小多項式及其有關性質；

　　3．線性變換及其對應矩陣的特征值和特征向量的概念和計算；

　　4．線性變換及其矩陣的線性無關特征向量的判別和最大個數及特征子空間；

　　5．實對稱矩陣的特征值和特征向量的性質；

　　6．矩陣相似的概念及同一個線性變換關于不同基的矩陣之間的關系；

　　7．線性變換的不變子空間、核、值域的概念及關系和計算；

　　8．線性變換和矩陣可對角化的概念和條件；

　　9．Hamilton-Caylay定理。

　?。ò耍│?矩陣

　　1．λ-矩陣的初等變換、標準型、行列式因子、不變因子、初等因子及三種因子之間的關系；

　　2．矩陣的Jordan標準形的存在唯一性定理的證明及其應用。

　?。ň牛W氏空間

　　1．內積和歐氏空間的定義及簡單性質，如柯西—布涅可夫斯基不等式、三角不等式、勾股定理等；

　　2．歐氏空間的度量矩陣的概念及性質；

　　3．歐氏空間的標準正交基概念及其求法和性質的證明與應用；

　　4．正交變換和正交矩陣的等價條件；

　　5．對稱變換的概念及其簡單性質；

　　6．實對稱矩陣的正交相似對角化定理及其相應正交矩陣和對角矩陣的求法；

　　7．線性無關向量組的施密特（Schmidt）正交化方法；

　　8．Gram行列式、初等旋轉和鏡像變換、酉空間和酉變換；

　　9．正交相似變換和酉相似變換。

　　2024年全國碩士研究生統一入學考試

　　數學教學論 科目考試大綱

　　一、考查目標

　　要求考生系統掌握數學教育教學的基礎知識和基本技能、運用數學教育教學的基本理論和基本方法分析、解決數學教育實際問題。

　　二、考試形式和試卷結構

　　1、試卷滿分及考試時間

　　本試卷滿分150分，考試時間為180分鐘。

　　2、答題方式

　　答題方式為閉卷、筆試

　　3、試卷題型結構

　　1）概念題

　　2）簡答題

　　3）論述題

　　4）教學設計題

　　三、考查范圍

　?。ㄒ唬┈F代數學教育發展概況

　　了解20世紀數學觀的變化，20世紀數學教育觀的變化，改革中的中國數學教育。了解國際視野下的中國數學教育，我國影響較大的幾次數學教改實驗。

　?。ǘ┪覈A教育數學課程改革概要

　　了解我國數學教育改革運動的歷史。了解《全日制義務教育數學課程標準（11版）》的基本理念、核心概念，《普通高中數學課程標準（17版）》的基本框架結構。理解初高中數學課程標準的基本理念，理解初中數學課程的目標與內容體系。了解高中數學課程內容的目標與內容體系，掌握數學學科核心素養的內涵。

　?。ㄈ祵W教學的基本問題

　　了解數學教學原則的內涵。結合實例分析在教學中如何貫徹數學教學原則。了解數學課堂教學中常用的教學方法，知道在選擇教學方法時應考慮哪些因素。了解弗賴登塔爾的數學教育理論、波利亞的解題理論、建構主義的數學教育理論。

　?。ㄋ模┲袑W數學教學設計

　　了解數學教學設計的基本含義，了解數學教學設計的基本要求。掌握數學教學設計的基本過程，會對優秀教學設計的進行分析。掌握說課的含義，理解數學課說課的主要內容，掌握說課的方法。

　?。ㄎ澹┲袑W數學教學基本技能

　　了解中學數學教學基本技能的構成，界定原則。了解基本技能練的目標和途徑。掌握創設數學課堂教學情境技能的含義、類型和應用原則。掌握數學課堂語言使用技能的含義、類型和應用原則。掌握數學課堂教學導入技能的含義、類型和應用原則。了解數學課堂教學提問技能的含義和類型，了解數學教學反思技能的內容和方法。

　?。祵W概念的教學

　　了解數學概念學習的心理過程，掌握概念教學中的注意事項。

　?。ㄆ撸祵W命題的教學

　　了解數學命題及其表示形式，掌握數學命題教學的方法。

　?。ò耍祵W解題的教學

　　理解中學數學問題的分類，會解中學數學題，掌握解題教學的基本要求，了解培養數學解題能力的途徑。

　?。ň牛祵W教育熱點問題研究

　　了解數學教育熱點問題，了解數學探究性學習和研究性學習的內容和案例。了解數學建模和數學教育之間的關系。